Momento flector y módulo resistente: cómo calcular vigas paso a paso

El cálculo de vigas a flexión es uno de los temas más importantes y más prácticos de toda la resistencia de materiales. Aparece en cualquier obra civil, en cualquier nave industrial, en cualquier estructura de madera o de acero. Y, lo que es mejor, se basa en una única fórmula muy elegante (la fórmula de Navier) que permite resolver una enorme variedad de problemas en cuanto se entiende bien.

En esta entrada vamos a resolver paso a paso un ejercicio típico de oposiciones de Tecnología en el que se pide calcular el momento flector máximo que puede soportar una viga de madera, dadas su sección y la tensión máxima admisible del material. Y, sobre todo, vamos a explicar bien qué es y para qué sirve el módulo resistente, que es el concepto clave para entender por qué las vigas se colocan siempre de canto y nunca de plano.

El enunciado

En una de las naves de la factoría nos encontramos con una viga representada en la figura anexa. La sección de la viga tiene unas dimensiones:

• anchura b = 18 cm
• altura h = 27 cm

Calcular el momento flector máximo que puede soportar esta viga, si se desea que la tensión máxima soportada tanto a tracción como a compresión no sobrepase los 110 Kp/cm². Expresar la solución en unidades del Sistema Internacional. (3 puntos)

Este ejercicio estaba propuesto en la prueba práctica de las oposiciones a profesor de Tecnología en Andalucia 2023

Conceptos previos: ¿qué le pasa a una viga cuando se flexiona?

Antes de tocar fórmulas, conviene tener una imagen mental clara de lo que ocurre dentro de una viga sometida a flexión. Imagínate una regla apoyada por sus dos extremos sobre la que se apoya un peso en el centro. La regla se curva hacia abajo. Si miras el corte transversal en cualquier punto, verás que:

• Las fibras superiores se acortan: están sometidas a compresión.
• Las fibras inferiores se alargan: están sometidas a tracción.
• Justo en el medio hay una capa que ni se acorta ni se alarga: es el eje neutro.

La tensión que aparece en cualquier fibra de la sección es proporcional a su distancia al eje neutro. Las fibras justo en el eje neutro no soportan ninguna tensión, y las más alejadas (la cara superior y la inferior) son las que más sufren. Esa es la idea fundamental de la fórmula de Navier:

σ(y) = M · y / I

donde σ es la tensión en una fibra a distancia y del eje neutro, M es el momento flector aplicado e I es el momento de inercia de la sección respecto al eje neutro.

El módulo resistente: el invento que simplifica todo

En el diseño de vigas, la pregunta práctica nunca es «¿qué tensión hay en este punto?», sino una mucho más concreta:

¿Qué momento flector máximo M puedo aplicar a esta viga sin que la tensión máxima supere el límite admisible σ del material?

Para responder, evaluamos la fórmula de Navier en la fibra crítica (la más alejada del eje neutro, a distancia y_max) y despejamos M:

σ_max = M · y_max / I

M_max = σ_max · I / y_max

Y aquí, por agrupación natural, aparece una cantidad que solo depende de la geometría de la sección. A esta cantidad se le llama módulo resistente:

W = I / y_max

Y la fórmula del momento máximo se reduce a una multiplicación elegantísima:

M_max = σ_max · W

El módulo resistente W es una propiedad puramente geométrica de la sección: depende solo del tamaño y la forma, no del material ni de la longitud de la viga ni del tipo de cargas. Esto permite separar el problema en dos partes independientes:

• El material determina σ_max (el acero aguanta mucho, la madera menos, el hormigón muy poco a tracción…)
• La geometría determina W (sección grande resiste más que pequeña, sección bien orientada resiste más que mal orientada…)

Y el momento que la viga aguanta es simplemente el producto de los dos. Es la descomposición fundamental del cálculo de vigas, y la razón por la que el módulo resistente aparece en todas las tablas de perfiles comerciales (IPE, IPN, HEB…): es el dato que necesita un proyectista para dimensionar una estructura.

Módulo resistente de una sección rectangular

Para nuestra viga rectangular de base b y altura h, calculamos W aplicando su definición. El momento de inercia respecto al eje horizontal centrado es:

I = b · h³ / 12

Y la fibra más alejada del eje neutro está en el borde superior (o inferior) de la sección, a media altura:

y_max = h / 2

Aplicando la definición de módulo resistente:

W = I / y_max = (b · h³ / 12) / (h / 2) = b · h² / 6

Y aquí aparece un resultado fundamental que conviene grabar:

W = b · h² / 6

El módulo resistente depende del cuadrado de la altura pero solo de la primera potencia de la base. Esto tiene una consecuencia práctica enorme: si duplicas la base, W solo se duplica; pero si duplicas la altura, W se cuadruplica. Por eso, para resistir flexión, la altura de la sección importa muchísimo más que la anchura.

Datos del problema en el Sistema Internacional

Antes de operar, pasamos todo al SI:

Magnitud	Enunciado	SI
Anchura, b	18 cm	0,18 m
Altura, h	27 cm	0,27 m
Tensión máxima, σ_max	110 Kp/cm²	(convertir)

Conversión de Kp/cm² a Pa

El kilopondio (Kp), también llamado kilogramo-fuerza (kgf), es una unidad del antiguo sistema técnico que equivale al peso de 1 kg de masa bajo la gravedad estándar:

1 Kp = 1 kgf = 9,81 N

Y como 1 cm² = 10⁻⁴ m²:

1 Kp/cm² = 9,81 N / 10⁻⁴ m² = 9,81 · 10⁴ Pa ≈ 98 100 Pa

Por tanto:

σ_max = 110 · 9,81 · 10⁴ ≈ 1,079 · 10⁷ Pa ≈ 10,79 MPa

(Algunos manuales simplifican usando 1 Kp ≈ 10 N, lo que daría σ_max = 1,1·10⁷ Pa = 11 MPa exactos. La diferencia es menor del 2 %, pero conviene usar el valor riguroso de 9,81 cuando el enunciado pide rigor en el SI.)

Cálculo del momento flector máximo

Calculamos primero el módulo resistente, suponiendo la viga colocada de canto (con la altura h = 27 cm en vertical, perpendicular al eje neutro):

W = b · h² / 6 = 0,18 · (0,27)² / 6
  = 0,18 · 0,0729 / 6
  = 0,013122 / 6
  = 2,187 · 10⁻³ m³  (= 2187 cm³)

Y aplicamos la fórmula del momento máximo:

M_max = σ_max · W = 1,079 · 10⁷ · 2,187 · 10⁻³
M_max ≈ 23 597 N·m  ≈  23,6 kN·m

Verificación dimensional

Comprobamos que las unidades cuadran:

[σ] · [W] = (N/m²) · m³ = N·m  ✓

Coincide con las unidades del momento flector. Todo correcto.

¿Y si la viga estuviera colocada de plano?

Aquí está la lección práctica más importante del ejercicio. Si la misma viga se colocara de plano (intercambiando b y h, con el lado largo en horizontal), el módulo resistente sería:

W' = h · b² / 6 = 0,27 · (0,18)² / 6
   = 1,458 · 10⁻³ m³  (= 1458 cm³)

M_max' = σ_max · W' ≈ 15 731 N·m ≈ 15,7 kN·m

El momento máximo soportado bajaría a 15,7 kN·m: un 33 % menos que poniéndola de canto, sin haber tocado nada más. La misma viga, el mismo material, la misma cantidad de madera. Solo girándola.

El cociente entre los dos módulos resistentes es exactamente 27/18 = 1,5, es decir, colocar una viga de canto la hace un 50 % más resistente que colocarla de plano. Por eso, en construcción, en carpintería de armar y en cualquier estructura que aguante peso, las vigas se colocan siempre de canto. Es uno de esos detalles que parecen menores pero que cambian completamente el comportamiento estructural.

Y esto, llevado al extremo, explica por qué las vigas comerciales de acero tienen forma de doble T (perfiles IPN, IPE, HEB): toda la masa del material está concentrada arriba y abajo, lejos del eje neutro, donde más rinde. Una IPE 200, por ejemplo, pesa lo mismo por metro que una pieza maciza de unos 5 cm de lado, pero su módulo resistente es diez veces mayor. Pura optimización geométrica.

Resumen de resultados

Magnitud	Valor
Tensión máxima admisible σ_max	110 Kp/cm² ≈ 10,79 MPa
Módulo resistente W (viga de canto)	2,187 · 10⁻³ m³ (= 2187 cm³)
Momento flector máximo M_max	≈ 23 597 N·m ≈ 23,6 kN·m
Comparativa: si la viga se pusiera de plano	15,7 kN·m (un 33 % menos)

Las tres lecciones que conviene quedarse

Este ejercicio, aparentemente sencillo, encierra tres ideas que conviene grabar bien.

La primera es que el módulo resistente W es una invención muy útil: agrupa el momento de inercia y la distancia a la fibra más alejada en un único número que caracteriza la resistencia geométrica de una sección a flexión. Permite escribir la fórmula del momento máximo como un producto limpio: M = σ · W. Material por geometría. Esta separación es la clave de todo el cálculo de estructuras moderno: los catálogos de perfiles comerciales tabulan W para cada sección, los proyectistas eligen el material y multiplican.

La segunda es que la altura de una sección rectangular importa al cuadrado y la base solo a la primera potencia. De ahí sale la regla práctica universal de colocar siempre las vigas de canto, y de ahí sale la geometría optimizada de los perfiles de acero comerciales. Si miras cualquier estructura, desde una viga de tu casa hasta un puente metálico, verás esta regla aplicada en todas partes.

La tercera es la importancia de trabajar con cuidado las unidades. La conversión Kp/cm² a Pa requiere multiplicar por 9,81 · 10⁴ (no por 10⁵), y este es uno de los errores más típicos en los exámenes. El sistema técnico (con kilopondios, kg/cm², toneladas-fuerza…) sigue siendo habitual en la práctica industrial, sobre todo en construcción y mecánica clásica, pero el rigor del SI es lo que se pide en oposiciones y en cualquier publicación científica seria. Hacer la conversión bien es lo que distingue una respuesta correcta de una aproximada.

Espero que esta entrada os haya ayudado a entender no solo cómo se resuelve este ejercicio concreto, sino también por qué el módulo resistente es uno de los conceptos más útiles de toda la resistencia de materiales. Una vez interiorizado, la mayoría de los problemas de flexión simple se resuelven en tres líneas.