Circuito RLC en paralelo en corriente alterna: resolución paso a paso con números complejos

Los circuitos en corriente alterna con varias ramas en paralelo son uno de los problemas más recurrentes en electrotecnia, tanto en 2º de Bachillerato como en los ciclos de Electricidad e Industria 4.0 y en oposiciones. En este artículo resolvemos paso a paso un ejercicio clásico de máquina industrial alimentada a 100 V / 50 Hz con tres ramas (R–L, C–C y R puro), calculando impedancias, intensidades, impedancia total, naturaleza del circuito, potencias y dibujando el triángulo de potencia.

Enunciado del problema

Dado el circuito de la figura, perteneciente a una máquina industrial y constituido por 3 ramas en paralelo con las siguientes características:

Rama 1: Resistencia $R_1 = 20\ \Omega$ en serie con una bobina de autoinducción $L_1 = 79{,}58\ \text{mH}$ .
Rama 2: Dos condensadores en serie. $C_{2.1} = 212{,}21\ \mu\text{F}$ y la impedancia del segundo es $X_{C_{2.2}} = 20\ \Omega$ .
Rama 3: Resistencia $R_3 = 30\ \Omega$ .

El circuito se alimenta a una tensión $V = 100\ \text{V}$ con frecuencia $f = 50\ \text{Hz}$ .

Se pide:

Impedancia de cada rama.
Intensidad por cada rama.
Intensidad total e indicar si el circuito es resistivo, inductivo o capacitivo.
Impedancia total del circuito.
Potencia aparente, activa y reactiva. Dibujar el triángulo de potencia.

Este ejercicio estaba propuesto en la prueba práctica para profesores de Tecnología en la oposición de Andalucía 2023

Paso previo: pulsación de la red

Antes de calcular impedancias necesitamos la pulsación o velocidad angular de la red:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 314{,}16\ \text{rad/s}$

a) Impedancia de cada rama

Rama 1: R–L en serie

Calculamos primero la reactancia inductiva:

$X_{L_1} = \omega \cdot L_1 = 314{,}16 \cdot 0{,}07958 \approx 25\ \Omega$

La impedancia compleja de la rama 1 es:

$\overline{Z_1} = R_1 + jX_{L_1} = 20 + j25\ \Omega$

Su módulo y argumento:

$|Z_1| = \sqrt{20^2 + 25^2} = \sqrt{1025} \approx 32{,}02\ \Omega$

$\varphi_1 = \arctan\!\left(\frac{25}{20}\right) \approx 51{,}34^{\circ}$

Por tanto, en forma polar: $\overline{Z_1} = 32{,}02\angle 51{,}34^{\circ}\ \Omega$ (comportamiento inductivo).

Rama 2: dos condensadores en serie

La reactancia capacitiva del primer condensador:

$X_{C_{2.1}} = \frac{1}{\omega \cdot C_{2.1}} = \frac{1}{314{,}16 \cdot 212{,}21\cdot 10^{-6}} \approx 15\ \Omega$

Como están en serie, las reactancias capacitivas se suman:

$X_{C_2} = X_{C_{2.1}} + X_{C_{2.2}} = 15 + 20 = 35\ \Omega$

La rama 2 es puramente capacitiva, por lo que:

$\overline{Z_2} = -jX_{C_2} = -j\,35\ \Omega \quad \Rightarrow \quad |Z_2| = 35\ \Omega,\ \ \varphi_2 = -90^{\circ}$

Rama 3: resistiva pura

$\overline{Z_3} = R_3 = 30\ \Omega \quad \Rightarrow \quad |Z_3| = 30\ \Omega,\ \ \varphi_3 = 0^{\circ}$

b) Intensidad por cada rama

Tomamos la tensión como fasor de referencia: $\overline{V} = 100\angle 0^{\circ}\ \text{V}$ . En un circuito paralelo todas las ramas están sometidas a la misma tensión, así que aplicamos la ley de Ohm en complejo a cada rama: $\overline{I} = \overline{V} / \overline{Z}$ .

Rama 1 (inductiva): la intensidad se retrasa respecto a la tensión.

$\overline{I_1} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{32{,}02\angle 51{,}34^{\circ}} = 3{,}12\angle -51{,}34^{\circ}\ \text{A}$

Rama 2 (capacitiva): la intensidad se adelanta 90º a la tensión.

$\overline{I_2} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{35\angle -90^{\circ}} = 2{,}857\angle 90^{\circ}\ \text{A}$

Rama 3 (resistiva): la intensidad está en fase con la tensión.

$\overline{I_3} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{30\angle 0^{\circ}} = 3{,}333\angle 0^{\circ}\ \text{A}$

c) Intensidad total y naturaleza del circuito

En un circuito paralelo, por la primera ley de Kirchhoff, la intensidad total es la suma vectorial (no aritmética) de las intensidades por cada rama. Para sumarlas pasamos cada fasor a forma binómica:

$\overline{I_1} = 3{,}12\,(\cos(-51{,}34^{\circ}) + j\sin(-51{,}34^{\circ})) = 1{,}949 - j\,2{,}437\ \text{A}$

$\overline{I_2} = 0 + j\,2{,}857\ \text{A}$

$\overline{I_3} = 3{,}333 + j\,0\ \text{A}$

Sumando partes reales e imaginarias por separado:

$\overline{I_T} = (1{,}949 + 0 + 3{,}333) + j(-2{,}437 + 2{,}857 + 0) = 5{,}282 + j\,0{,}420\ \text{A}$

Y su módulo y argumento:

$|I_T| = \sqrt{5{,}282^2 + 0{,}420^2} \approx 5{,}30\ \text{A}$

$\varphi_T = \arctan\!\left(\frac{0{,}420}{5{,}282}\right) \approx 4{,}55^{\circ}$

$\boxed{\ \overline{I_T} \approx 5{,}30\angle 4{,}55^{\circ}\ \text{A}\ }$

Naturaleza del circuito: el argumento de la intensidad total es positivo respecto a la tensión, es decir, la corriente se adelanta a la tensión. Esto significa que el efecto capacitivo de la rama 2 predomina sobre el efecto inductivo de la rama 1, por lo que el circuito es capacitivo (aunque muy ligeramente, casi resistivo, porque el ángulo es de apenas 4,55º).

d) Impedancia total del circuito

Una vez conocidas $\overline{V}$ e $\overline{I_T}$ , aplicamos la ley de Ohm en complejo:

$\overline{Z_T} = \frac{\overline{V}}{\overline{I_T}} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{5{,}30\angle 4{,}55^{\circ}} \approx 18{,}87\angle -4{,}55^{\circ}\ \Omega$

El signo negativo del argumento de $\overline{Z_T}$ confirma el carácter capacitivo del circuito (impedancia con componente reactiva negativa).

Comprobación mediante asociación de impedancias en paralelo (admitancias):

$\overline{Y_T} = \frac{1}{\overline{Z_1}} + \frac{1}{\overline{Z_2}} + \frac{1}{\overline{Z_3}} \quad \Rightarrow \quad \overline{Z_T} = \frac{1}{\overline{Y_T}}$

El resultado coincide con el obtenido por la ley de Ohm.

e) Potencia aparente, activa, reactiva y triángulo de potencia

Con $|V| = 100\ \text{V}$ , $|I_T| = 5{,}30\ \text{A}$ y $\varphi = -4{,}55^{\circ}$ (ángulo de la tensión respecto a la corriente, equivalente al de $\overline{Z_T}$ ), las tres potencias son:

Potencia aparente (en VA):

$S = V \cdot I_T = 100 \cdot 5{,}30 = 530\ \text{VA}$

Potencia activa (en W):

$P = S \cdot \cos\varphi = 530 \cdot \cos(4{,}55^{\circ}) \approx 528{,}4\ \text{W}$

Potencia reactiva (en VAr):

$Q = S \cdot \sin\varphi = 530 \cdot \sin(-4{,}55^{\circ}) \approx -42{,}03\ \text{VAr}$

El signo negativo de $Q$ indica, una vez más, que la potencia reactiva neta es capacitiva (la rama capacitiva absorbe más reactiva de la que consume la rama inductiva).

Factor de potencia

$\cos\varphi = \cos(4{,}55^{\circ}) \approx 0{,}9969 \ \ \text{(en adelanto)}$

Triángulo de potencia

El criterio de signos habitual en electrotecnia es el siguiente:

Si el circuito es inductivo ( $\varphi > 0$ , $Q > 0$ ), la reactiva se dibuja hacia arriba.
Si el circuito es capacitivo ( $\varphi < 0$ , $Q < 0$ ), la reactiva se dibuja hacia abajo.

Como en nuestro caso el circuito es ligeramente capacitivo, dibujamos $Q$ por debajo del eje horizontal, el ángulo $\varphi$ queda negativo y la hipotenusa $S$ desciende. La potencia activa $P$ ocupa el eje horizontal y la aparente $S$ cierra el triángulo:

Resumen de resultados

Magnitud	Valor
$\overline{Z_1}$	$32{,}02\angle 51{,}34^{\circ}\ \Omega$
$\overline{Z_2}$	$35\angle -90^{\circ}\ \Omega$
$\overline{Z_3}$	$30\angle 0^{\circ}\ \Omega$
$\overline{I_1}$	$3{,}12\angle -51{,}34^{\circ}\ \text{A}$
$\overline{I_2}$	$2{,}857\angle 90^{\circ}\ \text{A}$
$\overline{I_3}$	$3{,}333\angle 0^{\circ}\ \text{A}$
$\overline{I_T}$	$5{,}30\angle 4{,}55^{\circ}\ \text{A}$
$\overline{Z_T}$	$18{,}87\angle -4{,}55^{\circ}\ \Omega$
Naturaleza	Capacitivo
$S$	$530\ \text{VA}$
$P$	$528{,}4\ \text{W}$
$Q$	$-42{,}03\ \text{VAr}$
$\cos\varphi$	$0{,}9969$ (en adelanto)

Ideas clave para no olvidar

En paralelo, todas las ramas comparten la misma tensión; lo que se suma vectorialmente son las intensidades.
La parte imaginaria de $\overline{I_T}$ determina el carácter del circuito: positiva → capacitivo, negativa → inductivo, cero → resistivo.
$X_L$ crece con la frecuencia, $X_C$ disminuye con la frecuencia. Por eso a 50 Hz una bobina pequeña y un condensador pequeño pueden tener reactancias del mismo orden.
El signo de $Q$ y el sentido del triángulo de potencia van siempre de la mano: $Q > 0$ se dibuja hacia arriba (inductivo), $Q < 0$ hacia abajo (capacitivo).
Una buena comprobación final es calcular $P$ también como $P = \sum I_i^2 R_i$ por cada rama resistiva: $P = 3{,}12^2 \cdot 20 + 3{,}333^2 \cdot 30 \approx 194{,}5 + 333{,}3 = 527{,}8\ \text{W}$ , lo que coincide con los $528{,}4\ \text{W}$ obtenidos (la pequeña diferencia es por redondeo).

¿Quieres que en una próxima entrada compensemos este circuito para llevar el factor de potencia exactamente a la unidad? Es un ejercicio típico de mejora del cosφ industrial. Déjamelo en los comentarios.

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