La calefacción de un hotel en invierno funciona utilizando un sistema con bomba de calor. La temperatura de las habitaciones se mantiene a 24ºC mientras que en el exterior la temperatura es de 6ºC. La eficiencia de la máquina es la tercera parte de la ideal y la máquina aporta al foco caliente 1500 J.
- Calcular la eficiencia real de la bomba de calor y el trabajo aplicado al sistema para su funcionamiento. (1 punto)
- Calcular la cantidad de calor que se extrae del foco frío (1 punto).
- Definir el rendimiento térmico de un motor. Explicar razonadamente si el rendimiento térmico puede ser superior a la unidad (0.5 puntos).
a. La eficiencia de una bomba de calor es la relación que existe entre el calor extraído del foco frío y el trabajo necesario para que la máquina realice esta extracción.
![\[ \epsilon' = \frac{Q_1}{W} \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92cb83aa124aa655e4039b1de10ffcee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La máxima eficiencia nos la proporciona una máquina de Carnot trabajando entre los dos mismos focos:
![\[ \epsilon'_C = \frac{Q_1}{Q1 - Q_2} = \frac{T_1}{T1 - T_2} = \frac{297 K}{297 K - 279 K} = 16.5 \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-632b91529de3515fe5c3a31333ab3b31_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como el enunciado nos dice que la eficiencia real de la máquina es la tercera parte de la ideal, tenemos que:
![\[ \epsilon'_r = \frac{\epsilon'C}{3}= \frac{16.5}{3} = 5.5 \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e8609d0d3bd35cb8aed2a44f8916c5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y el trabajo realizado por la máquina será por tanto:
![\[ \epsilon'_r = \frac {Q_1}{W} \Rightarrow W = \frac{Q_1}{\epsilon'_r} = \frac{1500J}{5.5}= 272.7J \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7702e12715e99aeae86a507bebb3bc9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
b. Como el trabajo realizado por la máquina es la diferencia entre el calor introducido en el foco caliente menos el calor extraído del foco frío, podemos calcular este último:
![\[ W = Q_1 - Q_2 \Rightarrow Q_2 = Q_1 - W = 1500 J - 272.7 J = 1227.3 J \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89c753e220742b2c01590125b3a302d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
c. El rendimiento térmico de un motor es la relación entre el trabajo útil que produce el motor y el calor total que necesita absorber para realizarlo. Es una medida de la eficiencia con la que el motor convierte el calor en trabajo.
![\[ \eta = \frac {W}{Q_1} \]](https://technoteacher.es/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e314fd71d15759d7ca9c0d1dfb3565b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
El rendimiento de un motor térmico no puede ser nunca superior a 1, ya que contravendría los dos primeros principios de la Termodinámica:
- Iría en contra del primer principio. Dado que es imposible que la máquina no ceda calor al exterior, esto hará que el trabajo siempre sea menor que el calor absorbido por el principio de conservación de la energía.
- También estaría en contra del segundo principio, que dice que ninguna máquina puede convertir todo el calor en trabajo, siempre se cederá parte de él a un foco frío.