La conversión entre códigos binarios es uno de los ejercicios más completos de electrónica digital combinacional. En esta entrada vamos a diseñar paso a paso un circuito que convierte BCD natural a BCD Exceso 3, partiendo de la tabla de verdad, simplificando las funciones lógicas mediante mapas de Karnaugh y dibujando finalmente el circuito con el menor número posible de puertas básicas (AND, OR, NOT).
Y, sobre todo, vamos a detenernos en una trampa típica que aparece al usar los mapas de Karnaugh: no aprovechar al máximo las combinaciones indiferentes. Es un error muy frecuente que da soluciones correctas pero no minimizadas, y que vale la pena ver con un ejemplo concreto.
El enunciado
Diseñar un circuito combinacional que convierta código BCD natural a BCD Exceso 3.
Se pide:
a) Tabla de verdad. Explicarla brevemente.
b) Funciones lógicas de las salidas minimizadas empleando mapas de Karnaugh.
c) Dibujar el circuito convertidor empleando el mínimo número de puertas lógicas básicas (AND, OR, NOT).
Este ejercicio apareció en el examen práctico de oposiciones a profesor de Tecnología en Cantabria 2024
Repaso: ¿qué son BCD natural y BCD Exceso 3?
El BCD natural (Binary-Coded Decimal) representa cada dígito decimal del 0 al 9 mediante su equivalente binario en 4 bits. Por ejemplo, el 5 se codifica como 0101 y el 9 como 1001.
El BCD Exceso 3 codifica cada dígito decimal sumándole 3 antes de pasarlo a binario. Así, el 5 en Exceso 3 es 5+3=8, que en binario es 1000. Y el 0 en Exceso 3 es 0+3=3, es decir 0011.
Esta diferencia de 3 unidades hace que el código Exceso 3 tenga propiedades interesantes para la aritmética binaria: por ejemplo, el complemento a 9 de un dígito en Exceso 3 se obtiene simplemente complementando los bits, lo que simplifica los circuitos sumadores y restadores en BCD.
a) Tabla de verdad
Llamamos A, B, C, D a las entradas en BCD natural (siendo A el bit más significativo) y W, X, Y, Z a las salidas en Exceso 3. Para construir la tabla, basta con sumar 3 a cada dígito decimal y pasarlo a binario:
| Decimal | A | B | C | D | W | X | Y | Z | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | → | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | → | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | → | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | → | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 | → | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 | → | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 0 | 0 | → | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 | → | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 10-15 | no usadas en BCD | X | X | X | X | ||||
Sobre las combinaciones indiferentes: el código BCD solo usa los valores 0-9, así que las combinaciones binarias 1010 (10) hasta 1111 (15) no representan ningún dígito decimal válido. En la práctica, eso significa que nunca llegarán a las entradas del circuito, y por tanto no nos importa qué valor produzcan las salidas en esos casos.
Estas casillas se marcan con una X en la tabla y en los mapas de Karnaugh, y son una herramienta de simplificación muy potente: podemos asignarles el valor que más nos convenga (0 o 1) para hacer los grupos lo más grandes posible y obtener funciones más simples.
b) Funciones lógicas mediante mapas de Karnaugh
Para cada salida, marcamos en el mapa K (organizado con AB en filas y CD en columnas, ambos en código Gray: 00, 01, 11, 10) los unos correspondientes a los minterms y las indiferentes en las casillas 10-15:
La regla de oro de los mapas de Karnaugh
Antes de seguir, conviene recordar la regla más importante para minimizar correctamente:
Cada grupo debe ser tan grande como pueda crecer en potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16 casillas) sin salirse de las casillas con 1 o con X. Cuanto más grande es el grupo, más se simplifica el término resultante.
Y un corolario crucial: los indiferentes son nuestros amigos. No hay que tratarlos con miedo: se incluyen en un grupo siempre que ayuden a hacerlo más grande. La diferencia entre una solución correcta y una solución óptima suele estar precisamente en cuántos indiferentes se han aprovechado.
Salida W: el error típico que conviene evitar
La salida W vale 1 para los minterms 5, 6, 7, 8 y 9, y es indiferente para 10-15. Una solución muy frecuente es agrupar:
- Los minterms 8 y 9 (fila AB=10), formando un grupo de 4 con un par de indiferentes adyacentes →
AB̄ - Los minterms 6, 7 con sus indiferentes 14, 15 →
BC - Los minterms 5, 7 con sus indiferentes 13, 15 →
BD
Y queda W = AB̄ + BC + BD. La función es correcta y el circuito funciona, pero no está totalmente minimizada.
El problema está en el primer grupo. Junto a la fila AB=10 (donde están los minterms 8 y 9) tenemos toda la fila AB=11 que es completamente indiferente (las casillas 12, 13, 14, 15 son X). Si extendemos el grupo hasta cubrir las dos filas inferiores enteras del mapa, obtenemos un grupo de 8 casillas adyacentes que se simplifica a un solo literal: A.
La función mínima correcta es por tanto:
W = A + BC + BD = A + B(C + D)
Comparando ambas soluciones: la versión sin minimizar tiene 6 literales y requiere un inversor extra para B̄. La versión mínima tiene 5 literales y se ahorra el inversor. Una puerta menos en el circuito final.
Resto de salidas
Aplicando el mismo razonamiento a las demás salidas:
- X = B̄C + B̄D + BC̄D̄ = B̄(C+D) + BC̄D̄ — Tres grupos: dos en la fila AB=00 (con sus indiferentes correspondientes), y uno aislado en la casilla del minterm 4 (con su indiferente adyacente).
- Y = CD + C̄D̄ — Dos grupos verticales que abarcan toda la columna CD=11 (junto con sus indiferentes) y toda la columna CD=00. Esta función es exactamente la XNOR de C y D.
- Z = D̄ — Las cuatro columnas con D=0 (CD=00 y CD=10) están completamente a 1 o a X. Forman un único grupo de 8 casillas que se simplifica a la negación de D.
Resumen de las cuatro funciones minimizadas:
W = A + B(C + D) X = B̄(C + D) + BC̄D̄ Y = CD + C̄D̄ Z = D̄
Observa la simetría entre las funciones: el término (C+D) aparece tanto en W como en X, lo que nos permitirá compartir esa puerta OR en el circuito final. Y la salida Z es trivial: un único inversor.
c) Circuito con puertas básicas
Para construir el circuito con el mínimo número de puertas, aprovechamos las señales comunes entre las distintas salidas:
- Calculamos una sola vez los inversores B̄, C̄, D̄. La señal D̄ es directamente la salida Z.
- Calculamos una sola vez la suma C+D, que aparece en W y en X.
- Componemos cada salida con un AND para los productos y un OR final para sumarlos.
Recuento total: 12 puertas (3 NOT, 5 AND, 4 OR), gracias al aprovechamiento de las señales comunes.
Conclusión: la lección que se llevan los alumnos
Este ejercicio de conversión BCD a Exceso 3 es un clásico de la electrónica digital combinacional, y enseña varias cosas a la vez: cómo se construye una tabla de verdad para un circuito multi-salida, cómo se manejan las combinaciones indiferentes y, sobre todo, cómo aprovechar los mapas de Karnaugh para minimizar de verdad.
La lección más importante es la que hemos visto en la salida W: una agrupación válida no es necesariamente la mínima. Cuando hay indiferentes pegados a un grupo, casi siempre conviene comprobar si extender el grupo permite reducir el número de variables del término. Esa pregunta — «¿puedo hacer este grupo más grande?» — es la diferencia entre obtener un circuito que funciona y un circuito eficiente.
Es exactamente el tipo de detalle que distingue a quien aplica los mapas de Karnaugh mecánicamente de quien los entiende. Y es también el motivo por el que en exámenes y en proyectos reales, dos alumnos pueden tener funciones lógicas distintas, ambas correctas, pero solo una de ellas verdaderamente minimizada.
Espero que esta entrada os ayude tanto a resolver este ejercicio como a evitar la trampa de los grupos pequeños cuando los indiferentes podrían haberlos hecho crecer.
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