Máxima transferencia de potencia: teorema de Thévenin paso a paso

El teorema de máxima transferencia de potencia es uno de los resultados más elegantes y útiles de la teoría de circuitos. Tiene una formulación muy sencilla, pero su aplicación práctica obliga a manejar con soltura el teorema de Thévenin y, dependiendo del circuito, el análisis por nodos o el análisis por mallas. Por eso es uno de los ejercicios más completos que se pueden plantear en electrotecnia.

En esta entrada vamos a resolver paso a paso un ejercicio típico de oposiciones de Tecnología (Cantabria, Tribunal Nº 1) que combina fuentes de tensión y de corriente en el mismo circuito, y que se puede atacar tanto por nodos como por mallas. Veremos los dos métodos en paralelo y al final reflexionaremos sobre cuándo conviene cada uno.

El enunciado

Determinar el valor de la resistencia de carga para que la transferencia de potencia en el circuito de la figura sea máxima. (0,9 puntos)

Calcular la potencia máxima. (0,3 puntos)

El teorema en una línea

El teorema de máxima transferencia de potencia dice que, dado un circuito lineal con dos terminales (A y B) al que conectamos una resistencia de carga R_L, la potencia entregada a esa carga es máxima cuando R_L es igual a la resistencia equivalente de Thévenin del circuito vista desde esos terminales:

R_L = R_Th

Y la potencia máxima transferida a esa carga es:

P_max = V_Th² / (4 · R_Th)

Por tanto, todo el problema se reduce a obtener el equivalente de Thévenin entre los terminales A y B: la tensión en circuito abierto V_Th y la resistencia equivalente R_Th. Una vez tenemos esos dos valores, el resto son dos sustituciones triviales.

Identificación de nodos y mallas

Antes de empezar conviene etiquetar el circuito. Trabajar sin nombrar nodos o mallas es la forma más rápida de equivocarse. Llamemos:

• Nodo B (masa, referencia): toda la línea inferior. V_B = 0 V.
• Nodo N1: punto superior donde se unen la resistencia de 6 Ω, la 12 Ω y la 3 Ω.
• Nodo N2: punto superior donde se unen la 3 Ω, la fuente de corriente de 2 A y la 2 Ω.
• Terminal A: extremo derecho de la 2 Ω, donde irá conectada la carga.

Para el análisis por mallas, identificamos tres lazos cerrados, todos recorridos en sentido horario:

• Malla 1 (M1): la fuente de 12 V, la 6 Ω, la 12 Ω y el retorno por masa. Corriente I₁.
• Malla 2 (M2): la 12 Ω, la 3 Ω, la fuente de 2 A y el retorno por masa. Corriente I₂.
• Malla 3 (M3): la fuente de 2 A, la 2 Ω, el «salto» A-B (abierto cuando calculamos V_Th) y el retorno por masa. Corriente I₃.

Cálculo de R_Th

La resistencia equivalente de Thévenin se calcula apagando todas las fuentes independientes y mirando qué resistencia se ve desde los terminales A-B. «Apagar» significa:

• Las fuentes de tensión se sustituyen por cortocircuitos (porque una fuente apagada no impone tensión, así que sus dos extremos quedan al mismo potencial).
• Las fuentes de corriente se sustituyen por circuitos abiertos (porque una fuente apagada no inyecta corriente, así que esa rama queda interrumpida).

Con la fuente de 12 V cortocircuitada, las resistencias de 6 Ω y 12 Ω quedan en paralelo entre el nodo N1 y la masa:

6 ∥ 12 = (6·12)/(6+12) = 72/18 = 4 Ω

Esa combinación está en serie con la 3 Ω, dando 4 + 3 = 7 Ω entre el nodo N2 y la masa. Con la fuente de corriente abierta, esa rama no aporta nada. Por tanto, desde el terminal A vemos la 2 Ω en serie con esos 7 Ω:

R_Th = 2 + 7 = 9 Ω

Cálculo de V_Th: dos métodos en paralelo

V_Th es la tensión entre A y B con esos terminales abiertos (sin carga conectada). Como por la 2 Ω no puede circular corriente al estar A abierto, no hay caída de tensión en ella, y por tanto:

V_Th = V_A − V_B = V_N2

El problema se reduce a calcular el potencial del nodo N2. Vamos a verlo por los dos métodos.

Método 1: análisis por nodos

Aplicamos la Ley de Kirchhoff de las Corrientes (LKC) en cada nodo: la suma algebraica de corrientes que salen del nodo es cero. La corriente por cada resistencia se calcula como la diferencia de potenciales dividida por la resistencia.

Nodo N1: tres ramas salen del nodo (hacia la fuente de 12 V por la 6 Ω, hacia masa por la 12 Ω, y hacia N2 por la 3 Ω):

(V₁ − 12)/6 + V₁/12 + (V₁ − V₂)/3 = 0

Multiplicando por 12 para eliminar fracciones y simplificando:

7 V₁ − 4 V₂ = 24 (ecuación 1)

Nodo N2: entran 2 A de la fuente de corriente, y como por la 2 Ω no sale nada (A abierto), todos esos 2 A salen necesariamente por la 3 Ω hacia N1:

(V₂ − V₁)/3 = 2     →     V₂ − V₁ = 6     (ecuación 2)

Sustituyendo V₂ = V₁ + 6 en la primera ecuación:

7 V₁ − 4(V₁ + 6) = 24
3 V₁ = 48
V₁ = 16 V    →    V₂ = 22 V

V_Th = V_N2 = 22 V

Método 2: análisis por mallas

Por mallas, dos de las tres incógnitas son inmediatas:

• Como A-B está abierto, no puede circular corriente por la M3: I₃ = 0.
• La fuente de corriente está en la rama central, compartida entre M2 y M3. Como su flecha apunta hacia arriba (sentido contrario al horario de M2 en esa rama), impone I₂ = −2 A. El signo negativo es la trampa más típica del método: si te fías solo de la magnitud, te sale el resultado con signo cambiado.

Solo queda escribir la Ley de Kirchhoff de las Tensiones (LKT) en la malla M1, recorrida en sentido horario:

12 − 6 I₁ − 12 (I₁ − I₂) = 0

Sustituyendo I₂ = −2:

12 − 6 I₁ − 12 (I₁ + 2) = 0
12 − 6 I₁ − 12 I₁ − 24 = 0
I₁ = −2/3 A ≈ −0,67 A

Ahora calculamos V_Th recorriendo el circuito desde B (0 V) hasta A. Subiendo por la 12 Ω, la corriente real que la atraviesa hacia abajo es I₁ − I₂ = −0,67 − (−2) = 1,33 A. La caída en la 12 Ω es 12 · 1,33 = 16 V, y por tanto V_N1 = 16 V.

De N1 a N2, la corriente real por la 3 Ω va de N2 a N1 (porque I₂ = −2 A, sentido contrario al horario asumido), con magnitud 2 A. La caída es 3 · 2 = 6 V, y N2 está 6 V por encima de N1:

V_Th = V_N2 = 16 + 6 = 22 V

Idéntico al resultado obtenido por nodos. La coincidencia es la mejor verificación de que ambos planteamientos son correctos.

Resultado final

Aplicando el teorema de máxima transferencia de potencia con V_Th = 22 V y R_Th = 9 Ω:

R_L = R_Th = 9 Ω

P_max = V_Th² / (4 · R_Th) = 22² / (4 · 9) = 484/36 ≈ 13,44 W

Magnitud	Valor
Tensión de Thévenin VTh	22 V
Resistencia de Thévenin RTh	9 Ω
Resistencia de carga óptima RL	9 Ω
Potencia máxima transferida	13,44 W

Verificación

Conviene siempre comprobar el resultado conectando R_L = 9 Ω al equivalente Thévenin y verificando que la potencia es la calculada:

I = V_Th / (R_Th + R_L) = 22 / (9 + 9) = 1,22 A
P_RL = I² · R_L = 1,22² · 9 ≈ 13,44 W   ✓

Coincide. Ejercicio resuelto.

¿Nodos o mallas? La conclusión que se llevan los alumnos

Los dos métodos son matemáticamente equivalentes y conducen al mismo resultado, pero no son igual de cómodos en todos los circuitos. La regla práctica que conviene transmitir a los alumnos es:

• Análisis por nodos: es más cómodo cuando hay fuentes de corriente. Cada fuente de corriente aporta directamente un dato a la ecuación del nodo en el que está conectada, sin trucos adicionales.
• Análisis por mallas: es más cómodo cuando hay fuentes de tensión. Las fuentes de corriente, en cambio, obligan a aplicar el truco de la corriente impuesta entre dos mallas o, en casos más complejos, el método de la supermalla.

En este ejercicio concreto, con una fuente de tensión y una fuente de corriente, los dos métodos funcionan razonablemente bien. Pero si tuviéramos que apostar, el de nodos es ligeramente más directo.

Y la lección importante que enseña este problema, más allá del valor numérico de la solución, es la siguiente: el truco no está en el método elegido, sino en saber identificar qué simplificaciones permite el enunciado. Reconocer que A-B abierto implica I₃ = 0, o que la fuente de corriente fuerza directamente el valor de I₂, ahorra una enorme cantidad de álgebra. Lo mismo ocurre con la observación inicial de que la 2 Ω no cae tensión cuando no hay carga, lo que reduce el problema al cálculo de un único potencial de nodo.

Es exactamente el tipo de razonamiento que distingue a quien resuelve circuitos mecánicamente de quien los entiende. Y es también el motivo por el que vale la pena ver los dos métodos: cada uno enseña a mirar el circuito desde un ángulo distinto, y la combinación da una visión mucho más completa.

Espero que esta entrada os haya servido tanto para resolver este ejercicio como para coger soltura con el teorema de Thévenin y los dos métodos clásicos de análisis de circuitos.