Sistema de elevación con motor y reductora: relaciones de transmisión y ventaja mecánica

Los sistemas de elevación de cargas son uno de los ejemplos más completos para enseñar la asignatura de Tecnología, porque combinan en un único problema tres bloques aparentemente independientes: electrotecnia (cálculo de potencias e intensidades), mecánica de máquinas (engranajes, relaciones de transmisión y ventaja mecánica) y dinámica básica (elevación de pesos con velocidad uniforme). Resolverlo bien obliga a tener una visión integrada de toda la asignatura.

En esta entrada vamos a resolver paso a paso un ejercicio típico de oposiciones que diseña un sistema de elevación con motor de corriente continua, reductora de tres etapas y torno. Y, sobre todo, vamos a explicar dos puntos donde casi todos los alumnos se atascan: cómo identificar correctamente las parejas de engrane en una reductora compleja, y cómo interpretar físicamente la ventaja mecánica de una reductora real (con rendimiento < 1).

Este ejercicio apareció en la prueba práctica de oposiciones a profesor de Tecnología en Andalucía en el año 2023

El enunciado

La figura anexa representa de forma esquemática un sistema de elevación de pesos. El motor eléctrico hace girar un sistema reductor mediante engranajes rectos, que aprovecha el giro de la última rueda para elevar un peso «P». Se considera la velocidad del motor (giro del eje) como un dato constante y el deslizamiento es nulo. El rendimiento mecánico de la reductora es del 90 %.

Componentes:

• Motor de corriente continua de 2200 W de potencia útil, rendimiento eléctrico del 95 %, conectado a 230 V.
• Torno de elevación con peso a elevar de 500 Kp y diámetro de 20 cm.
• Reductora de seis ruedas (R1 a R6) con los diámetros y módulos de la tabla del enunciado.

Se pide:

a) Velocidad de giro del eje del motor en rpm. (2 puntos)
b) Intensidad demandada de la red por el motor. (1,5 puntos)
c) Altura de elevación de la carga en 10 s. (2 puntos)
d) Ventaja mecánica de la reductora de velocidad. (1,5 puntos)

Análisis previo: identificar las parejas de engrane

Antes de calcular nada, hay que entender bien cómo está organizado el tren de engranajes. Es el paso donde más se equivocan los alumnos, y un error aquí arrastra todos los cálculos posteriores.

Mirando la figura, el motor mueve la rueda R1, que engrana con la R2. La R2 está montada en el mismo eje que la R3, así que giran solidarias (a la misma velocidad, sin transmisión entre ellas). La R3 engrana con la R4, que va solidaria con la R5. Y la R5 engrana con la R6, que va acoplada al torno.

Por tanto, las parejas de engrane (las que efectivamente reducen la velocidad) son tres:

• R1 → R2: primera reducción
• R3 → R4: segunda reducción
• R5 → R6: tercera reducción

Las parejas R2-R3 y R4-R5 no engranan: son ejes solidarios que comparten la misma velocidad angular pero entre los que no hay relación de transmisión.

El truco del módulo: cómo verificar el esquema

Existe una regla universal que permite confirmar si dos engranajes pueden engranar entre sí: deben tener exactamente el mismo módulo. El módulo es la relación entre el diámetro primitivo y el número de dientes, y está directamente ligado al tamaño del diente. Engranajes de módulos distintos no encajan.

Aplicando esta verificación a nuestro tren:

• R1 (módulo 5) y R2 (módulo 5) → ✓ pueden engranar
• R3 (módulo 3) y R4 (módulo 3) → ✓ pueden engranar
• R5 (módulo 5) y R6 (módulo 5) → ✓ pueden engranar

Coincide con el esquema cinemático que habíamos identificado. Si en alguna pareja los módulos no coincidieran, el ejercicio estaría mal planteado o nuestra identificación sería incorrecta. Es una comprobación que cuesta diez segundos hacer y evita errores graves.

a) Velocidad de giro del eje del motor

Aquí hay que tener una idea clara: el motor entrega 2200 W de potencia útil que viaja a través de la reductora hasta el torno, donde se transforma en el trabajo de levantar el peso. La estrategia de cálculo consiste en partir de las condiciones del torno (par necesario y potencia disponible) para obtener su velocidad, y luego «remontar» a la velocidad del motor a través de la relación de transmisión total.

Paso 1: par necesario en el eje del torno

El motor tiene que vencer el peso de la carga, que se aplica sobre la cuerda enrollada en el torno. La fuerza tangencial en el tambor es justamente el peso, y el brazo es el radio del torno:

P = 500 Kp = 500 · 9,81 = 4905 N
M_torno = P · r_torno = 4905 · 0,10 = 490,5 N·m

Paso 2: potencia que llega al torno

El motor entrega 2200 W de potencia útil en su eje, pero la reductora tiene un rendimiento del 90 %, así que en el torno disponemos de:

P_torno = P_motor · η_red = 2200 · 0,90 = 1980 W

Paso 3: velocidad angular del torno

De la relación fundamental P = M · ω despejamos la velocidad angular:

ω_torno = P_torno / M_torno = 1980 / 490,5 = 4,036 rad/s
n_torno = ω_torno · 60 / (2π) ≈ 38,54 rpm

Paso 4: relación de transmisión total

Cada pareja de engrane reduce la velocidad en una proporción que viene dada por el cociente entre el diámetro de la rueda conducida y el de la conductora. Y la relación de transmisión total de un tren con varias parejas en cascada es el producto de las relaciones parciales:

i₁ = D₂ / D₁ = 385 / 120 = 3,208
i₂ = D₄ / D₃ = 120 / 66 = 1,818
i₃ = D₆ / D₅ = 300 / 100 = 3,000

i_total = i₁ · i₂ · i₃ = 3,208 · 1,818 · 3,000 ≈ 17,50

Es decir, el motor gira 17,5 veces más rápido que el torno.

Paso 5: velocidad del motor

n_motor = n_torno · i_total = 38,54 · 17,50 ≈ 674,5 rpm

n_motor ≈ 674,5 rpm

b) Intensidad demandada de la red

El motor de corriente continua tiene un rendimiento eléctrico del 95 %, es decir, no toda la potencia eléctrica que absorbe se convierte en potencia mecánica útil en su eje: una parte se pierde en forma de calor (efecto Joule en los devanados) y rozamientos internos. La potencia que demanda de la red será mayor que los 2200 W útiles:

P_eléctrica = P_útil / η_eléct = 2200 / 0,95 ≈ 2316 W

Y como en corriente continua la potencia eléctrica es simplemente el producto de tensión por intensidad (P = U · I), la intensidad consumida es:

I = P_eléctrica / U = 2316 / 230 ≈ 10,07 A

I ≈ 10,07 A

c) Altura de elevación en 10 s

La altura que sube la carga es exactamente igual a la longitud de cuerda que se enrolla en el torno durante esos 10 segundos. Y esa longitud, suponiendo deslizamiento nulo, es la velocidad lineal de la periferia del torno multiplicada por el tiempo:

v_torno = ω_torno · r_torno = 4,036 · 0,10 = 0,4036 m/s

h = v_torno · t = 0,4036 · 10 ≈ 4,04 m

h ≈ 4,04 m

Verificación por balance energético

Conviene comprobar que el resultado es coherente. La potencia mecánica útil empleada en levantar el peso debe coincidir con la potencia que llega al torno:

P_elevación = P · v = 4905 · 0,4036 ≈ 1980 W   ✓

Coincide exactamente con la potencia del torno calculada antes. Todo el balance energético cuadra: 2316 W entran de la red, el motor convierte 2200 W en potencia mecánica (95 %), de los que 1980 W llegan al torno (90 % por la reductora) y se invierten íntegramente en levantar el peso.

d) Ventaja mecánica de la reductora

La ventaja mecánica (VM) de un mecanismo es la relación entre la fuerza (o el par) de salida y la fuerza (o el par) de entrada. Mide cuántas veces se «amplifica» la fuerza al pasar por el mecanismo. En un tren de engranajes hay dos formas equivalentes de calcularla, y conviene saber las dos.

Forma 1: como cociente de pares (definición directa)

Necesitamos los pares en la entrada (motor) y la salida (torno). El par en el motor se obtiene de P = M · ω :

ω_motor = n_motor · 2π / 60 = 674,5 · 2π / 60 ≈ 70,63 rad/s
M_motor = P_motor / ω_motor = 2200 / 70,63 ≈ 31,15 N·m

VM = M_torno / M_motor = 490,5 / 31,15 ≈ 15,75

Forma 2: como i_total · η_red (más rápida)

En una reductora ideal sin pérdidas (η = 1), la ventaja mecánica coincidiría exactamente con la relación de transmisión: el par se multiplica tanto como se reduce la velocidad. Pero como hay rozamiento, la VM real es la relación de transmisión multiplicada por el rendimiento:

VM = i_total · η_red = 17,50 · 0,90 = 15,75

VM ≈ 15,75

Las dos formas dan exactamente el mismo resultado, como debe ser. La segunda es más rápida y, sobre todo, conceptualmente más reveladora: muestra que la ventaja mecánica de cualquier reductora se calcula simplemente multiplicando dos factores que son fáciles de identificar: cuánto reduce la velocidad y cuánto se pierde por rozamiento.

Resumen de resultados

Apartado	Magnitud	Valor
a)	Velocidad de giro del eje del motor	≈ 674,5 rpm
b)	Intensidad demandada de la red	≈ 10,07 A
c)	Altura de elevación en 10 s	≈ 4,04 m
d)	Ventaja mecánica de la reductora	≈ 15,75

Las tres lecciones que conviene quedarse

Este ejercicio, aparentemente largo, condensa tres ideas que merece la pena destacar.

La primera es que identificar correctamente las parejas de engrane es el paso más crítico en cualquier problema de trenes de engranajes complejos. La regla universal es: si dos ruedas no comparten el mismo módulo, no engranan. Si están en el mismo eje, son solidarias y giran a la misma velocidad sin transmisión entre ellas. La pista más segura para distinguir un caso del otro es siempre el módulo.

La segunda es la cadena de rendimientos. La potencia se va degradando en cada conversión, y el rendimiento global es el producto de los rendimientos parciales. En este sistema entran 2316 W de la red, el motor entrega 2200 W de potencia mecánica (η_eléct = 0,95) y al torno llegan 1980 W (η_red = 0,90). El rendimiento global desde la red hasta el torno es 0,95 · 0,90 = 0,855, es decir, un 85,5 %. Cada eslabón de la cadena cuenta.

La tercera es la interpretación física más profunda: una reductora convierte velocidad en par. El motor gira muy rápido (674 rpm) pero con poco par (31 N·m). El torno gira muy despacio (38 rpm) pero con mucho par (490 N·m). El producto P = M · ω se conserva (salvo pérdidas por rozamiento), pero su reparto entre M y ω cambia drásticamente. Esa es la utilidad de cualquier reductora, desde la caja de cambios de un coche hasta la transmisión de una grúa torre: adaptar las características de un motor (rápido, pequeño par) a las de una carga (lenta, gran par). Y la ventaja mecánica es justamente el factor que cuantifica esa conversión.

Espero que esta entrada os haya servido para entender no solo cómo se resuelve este ejercicio concreto, sino también por qué los sistemas de elevación combinan motor, reductora y torno como receta universal. Una vez interiorizada la lógica, la mayoría de los problemas de transmisión mecánica se resuelven en pocos pasos.