Los diagramas de bloques son el lenguaje universal de la ingeniería de control. Permiten representar de forma compacta sistemas físicos complejos (eléctricos, mecánicos, neumáticos, térmicos…) y, lo que es más importante, calcular su comportamiento dinámico mediante un álgebra muy potente: el álgebra de bloques. Reducir un diagrama complejo a una única función de transferencia equivalente V(s)/U(s) es uno de los ejercicios más completos que se pueden plantear en oposiciones de Tecnología, porque combina interpretación gráfica, álgebra de fracciones racionales y una atención al detalle que rara vez se exige en otros temas.
En esta entrada vamos a resolver paso a paso un ejercicio de oposiciones (Andalucía 2023) que combina tres lazos cerrados con realimentaciones locales, una rama feedforward y un lazo de bloques en paralelo. Y, sobre todo, vamos a detenernos en una distinción crucial que muchos alumnos pasan por alto: cuándo una línea inferior es una realimentación global y cuándo es una rama feedforward. Ese matiz cambia completamente el resultado y es uno de los puntos donde más se equivocan los alumnos en estos ejercicios.
Este ejercicio apareció en la prueba práctica de las oposiciones a profesor de Tecnología en Andalucía en el año 2023
El enunciado
Uno de los procesos de fabricación de las piezas del mecanismo anterior viene determinado por el siguiente diagrama de bloques. Determinar la función de transferencia total del sistema V(s)/U(s). (3 puntos)
Análisis previo: identificar la topología
Antes de aplicar fórmula alguna, es indispensable entender qué hace cada parte del diagrama. Recorriendo el diagrama de izquierda a derecha encontramos:
- Tres bloques en serie con realimentaciones locales:
- Bloque 1 (lazo izquierdo): entrada U(s), un sumador con realimentación negativa, y en el camino directo dos bloques en serie (1/2 y s+1). La realimentación local es el bloque s.
- Bloque 2 (lazo central): sumador con realimentación positiva (ganancia 1, sin bloque), y el bloque s/2 en el camino directo.
- Bloque 3 (lazo derecho): aquí no hay realimentación. Son dos bloques en paralelo, (s+2) y 1/(2s), cuyas salidas se restan en un sumador.
- Sumador final con rama feedforward: recibe la salida de los tres lazos y le resta una señal que viene desde U(s) atravesando un bloque s. No es una realimentación, es una rama directa de la entrada a la salida.
El detalle que más se confunde: ¿realimentación o feedforward?
Aquí está el punto más delicado del ejercicio. La línea horizontal inferior con el bloque s podría parecer, a primera vista, una realimentación global que va desde V(s) hasta el sumador inicial. Pero no es así. Si seguimos las flechas con cuidado, la línea sale de U(s), va hacia la derecha por debajo de todo el diagrama, atraviesa el bloque s, y llega al sumador final entrando con signo «−».
Esta diferencia es fundamental y conviene grabarla:
- Realimentación global: la señal va desde la salida V(s) hasta un sumador anterior, en sentido contrario al flujo principal. La función de transferencia se calcula como G/(1±GH).
- Rama feedforward: la señal va desde la entrada U(s) hasta un sumador posterior, en el mismo sentido que el flujo principal. La función de transferencia se calcula como G ± H (suma o resta directa).
El truco para distinguirlas es seguir el sentido de las flechas. Si la flecha va de izquierda a derecha (en el sentido del flujo principal), es feedforward. Si va de derecha a izquierda (en sentido contrario al flujo principal), es realimentación. En nuestro diagrama, las flechas de la línea inferior van de izquierda a derecha: es feedforward.
Esta distinción cambia drásticamente el cálculo. Si interpretáramos la línea como realimentación global, el resultado sería una expresión completamente distinta. Vamos a resolverlo correctamente.
Reducción del primer lazo
El lazo izquierdo tiene en su camino directo dos bloques en serie, 1/2 y (s+1), y una realimentación negativa con el bloque s. Aplicamos la fórmula del lazo cerrado con realimentación negativa:
G_eq = G / (1 + G·H)
Con G = (1/2)·(s+1) y H = s:
G_1 = [(1/2)·(s+1)] / [1 + (1/2)·(s+1)·s]
= [(s+1)/2] / [(2 + s²+s)/2]
= (s+1) / (s² + s + 2)
Reducción del lazo central
El lazo central tiene el bloque s/2 en el camino directo y una realimentación positiva con ganancia 1. Aplicamos la fórmula del lazo cerrado con realimentación positiva (denominador con signo menos):
G_eq = G / (1 − G·H)
Con G = s/2 y H = 1:
G_2 = (s/2) / (1 − s/2)
= (s/2) / [(2 − s)/2]
= s / (2 − s)
Reducción del lazo derecho: bloques en paralelo
Aquí no hay realimentación. La señal de entrada se bifurca en dos caminos paralelos: uno pasa por el bloque (s+2) y otro por el bloque 1/(2s). Las salidas se combinan en un sumador donde la rama de (s+2) entra con «+» y la de 1/(2s) entra con «−». Por tanto:
G_3 = (s+2) − 1/(2s)
= [2s(s+2) − 1] / (2s)
= (2s² + 4s − 1) / (2s)
Es importante recalcar que esto no es un lazo cerrado, sino una configuración en paralelo con resta. La diferencia visual está en que la rama de 1/(2s) fluye de izquierda a derecha (hacia el sumador), no de derecha a izquierda (que sería el caso de una realimentación). Otro caso típico donde los alumnos se confunden si no se fijan en el sentido de las flechas.
Camino directo total: producto de los tres bloques
Los tres lazos están en cascada, así que el camino directo total es el producto de las tres funciones:
G(s) = G_1 · G_2 · G_3
= (s+1)/(s²+s+2) · s/(2−s) · (2s²+4s−1)/(2s)
Antes de operar, observamos que el factor s del numerador de G_2 se cancela con el 2s del denominador de G_3, dejando un factor 1/2:
G(s) = (s+1)·(2s²+4s−1) / [2·(s²+s+2)·(2−s)]
Desarrollo del numerador
(s+1)·(2s²+4s−1) = 2s³ + 4s² − s + 2s² + 4s − 1
= 2s³ + 6s² + 3s − 1
Desarrollo del denominador
Empezamos por (s²+s+2)·(2−s):
(s²+s+2)·(2−s) = 2s² − s³ + 2s − s² + 4 − 2s
= −s³ + (2−1)s² + (2−2)s + 4
= −s³ + s² + 4
Atención al detalle: los términos en s se cancelan exactamente (+2s y −2s), así que el resultado no tiene término en s. Es uno de los puntos donde más fácil es cometer una errata aritmética. Multiplicando por 2:
2·(s²+s+2)·(2−s) = −2s³ + 2s² + 8
Por tanto:
G(s) = (2s³ + 6s² + 3s − 1) / (−2s³ + 2s² + 8)
Aplicación del feedforward inferior
Ahora aplicamos la rama feedforward: la señal de U(s) atraviesa el bloque s y se resta en el sumador final. Por tanto:
V(s)/U(s) = G(s) − s
Ponemos s con el mismo denominador que G(s):
V(s)/U(s) = [2s³ + 6s² + 3s − 1 − s·(−2s³ + 2s² + 8)] / (−2s³ + 2s² + 8)
Calculamos −s·(−2s³+2s²+8) = 2s⁴ − 2s³ − 8s. Sumando con el numerador anterior:
2s³ + 6s² + 3s − 1 + 2s⁴ − 2s³ − 8s
Agrupando por grados:
- s⁴: 2s⁴
- s³: 2s³ − 2s³ = 0 (se cancelan)
- s²: 6s²
- s: 3s − 8s = −5s
- constante: −1
Función de transferencia total
V(s)/U(s) = (2s⁴ + 6s² − 5s − 1) / (−2s³ + 2s² + 8)
Si preferimos tener el coeficiente principal del denominador con signo positivo, multiplicamos numerador y denominador por (−1):
V(s)/U(s) = (−2s⁴ − 6s² + 5s + 1) / (2s³ − 2s² − 8)
Ambas formas son equivalentes. La primera es la más habitual porque preserva el signo positivo del coeficiente principal del numerador.
Verificación dimensional
Conviene comprobar la coherencia del resultado. El sistema completo tiene un numerador de grado 4 y un denominador de grado 3. Es decir, la función de transferencia es impropia: el grado del numerador supera al del denominador en una unidad.
Esto puede parecer extraño, pero tiene una explicación física clara: la rama feedforward incluye un bloque s, que es un derivador puro. Los derivadores son sistemas no causales y no se pueden implementar físicamente en su forma exacta. En la práctica, los sistemas reales que tienen acción derivativa la combinan con una pequeña constante de tiempo (PD aproximado) para hacerlos realizables. Pero a efectos de cálculo del diagrama tal cual está dibujado, el resultado matemático es el que es.
Las tres lecciones del ejercicio
Este ejercicio, aparentemente algorítmico, encierra tres aprendizajes que merece la pena destacar.
La primera es que identificar correctamente la topología es el paso más crítico de todo el cálculo. Confundir una rama feedforward con una realimentación, o un par de bloques en paralelo con un lazo cerrado, conduce a una respuesta completamente diferente. La regla de oro es seguir siempre el sentido de las flechas: el flujo principal va de izquierda a derecha, las realimentaciones van en sentido contrario (de derecha a izquierda) y los feedforward acompañan al flujo principal.
La segunda es la importancia de cuidar la aritmética en los desarrollos polinómicos. En este ejercicio, el desarrollo de (s²+s+2)·(2−s) tiene una particularidad que conviene grabar: los términos en s se cancelan exactamente, dejando un polinomio sin término lineal. Es exactamente el tipo de detalle donde se pierden puntos en exámenes por olvidar agrupar correctamente. Una buena costumbre es verificar siempre el balance de coeficientes agrupándolos por grados antes de dar por bueno un desarrollo.
La tercera y más conceptual es entender qué representa una función de transferencia. V(s)/U(s) no es solo una manipulación algebraica: es la huella dactilar dinámica del sistema. Sus raíces (polos y ceros) determinan la estabilidad, la velocidad de respuesta, las oscilaciones… todo el comportamiento dinámico del proceso queda capturado en esa única expresión. Por eso vale la pena dedicarle tiempo y obtenerla correctamente, porque a partir de ella se construye todo el análisis posterior del sistema de control.
Espero que esta entrada os haya servido tanto para resolver este ejercicio concreto como, sobre todo, para tener clara la diferencia entre realimentación y feedforward, que es uno de los matices más importantes del álgebra de bloques. Una vez interiorizado, la mayoría de los diagramas se reducen sin sobresaltos.
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